Extinzând la numere complexe formula trigonometrică a rădăcinilor dată de Viète, ajungem să evidenţiem teorema lui Marden: punctele critice ale unui polinom de gradul trei cu rădăcini complexe necoliniare, sunt focarele elipsei lui Steiner înscrise triunghiului format de rădăcini (unica elipsă centrată în baricentru şi tangentă laturilor în mijloacele acestora).

Tranşăm practic (verificând un rezultat teoretic clasic), dilema locului punctelor periodice: generăm fractalul plecând de la unul dintre punctele 2-periodice - colectând preimaginile acestuia până la un anumit ordin de iterare; adăugând pe imaginea obţinută punctele 2-periodice, vedem că acestea ţin de "mulţimea Julia".

outer(p1, p2) produce matricea m2 în care liniile sunt asociate coeficienţilor p1, iar coloanele - coeficienţilor p2; valorile acestei matrici sunt produsele coeficienţilor respectivi, m2[i][j] = p1[i]*p2[j]. Adunând valorile m2[i][j] pentru i + j = d =constant, obţinem coeficientul monomului de gradul d din produsul celor două polinoame - operaţie montată prin tapply(): clasează valorile după suma indicilor de linie şi coloană şi apoi aplică sum() pe fiecare categorie de valori.

Trasăm numeric coeficienţii ecuaţiei N(N(z)) = z şi folosind apoi polyroot(), găsim punctele 2-periodice ale transformării lui Newton.

Imaginile rezultate "trunchiază" mulţimea denumită de obicei mulţimea Julia a transformării respective; aceasta este frontiera comună a bazinelor de atracţie ale rădăcinilor polinomului, pe întregul plan (în vecinătatea oricât de mică a oricărui punct al ei există "pre-imagini" ale fiecărei rădăcini - cu interpretarea şocantă că în fiecare punct "se întâlnesc" câte n culori; "pre-imagine" a rădăcinii însemnând aici un punct a cărui orbită converge la o rădăcină a polinomului).